Ruang Vektor Real

RUANG VEKTOR REAL

 Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan anggota lain dalam himpunan itu.

v Operasi perkalian skalar adalah suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada V dengan suatu objek ku, yang disebut kelipatan skalar dari u oleh k.
Jadi, jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua objek u, v, w pada V dan semua skalar k dan l, maka V dapat disebut sebagai ruang vektor dan objek-objek pada V sebagai vektor.

Aksioma-Aksioma Sebagai berikut:

(1)         Jika u dan v adalah objek-objek pada V, maka u + v berada pada V.
(2)    u + v = v + u

(3)    u + (v + w) = (u + v) + w
(4)    Terdapat suatu objek 0 di V, disebut vektor nol sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua V.
(5)   Untuk setiap u di V, terdapat suatu objek -u di V, disebut negatif u, sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
(6)   Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang objek di V, maka ku terdapat di V.
(7)   k(u + v) = ku + kv
(8)   (k + l)u = ku + lu
(9)   k(lu) = (kl)(u)
(10) lu = u

Skalar dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, tergantung pada aplikasinya.
v Ruang vektor kompleks adalah ruang vektor di mana skalar-skalarnya adalah bilangan kompleks

v Ruang vektor real adalah ruang vektor di mana skalar-skalarnya adalah bilangan real

Contoh 1 :

Rn adalah suatu ruang vektor.

v Himpunan V = Rn dengan operasi-operasi standar penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada bab ruang dimensi n Euclide,v Tiga kasus khusus paling penting dari Rn adalah

1)      R (bilangan real)

2)      R2 (vektor pada bidang)

3)      R3 (vektor pada ruang berdimensi

Contoh 2 : Ruang Vektor Matrik 2 x 2

Himpunan V dari semua matriks 2 x 2 dengan entri-entri real adalah suatu ruang vektor jika penjumlahan vektor didefinisikan sebagai penjumlahan matriks dan perkalian skalar vektor didefinisikan sebagai perkalian skalar matriks.