Tugas Aljabar Linear

1. 2x + 5y = 2

        4x + y  = 3

Di eliminasikan

2x + 5y = 2  4

4x +   y = 3  2

8x + 20y =   8

8x + 2y   =   6

         8y   =   2

           Y    =  2      =   1

                     8           4

2x + 5y = 2

2x + 5(1/4) = 2

2x + 5/4 = 2

2x = 2 -5/4

X = 2 -5/4

           2

Titik potong = (2 -5/4 , -1 )

                          (       2      4 )

2.A ( -3,5 ) dengan gradien  4

Jawab :

             Y = mx + b

             Y –y₁ = m (x – x₁)

 

Y – (5)            =  4 x – (-3)

 

Y -  5              =  4   x + 3

Y – 5              =  4x + 12

Y                     = 4x + 12 + 5

Y                     = 4x + 17

                 

3.A ( -2,5) , B (3, -11). M = 2

Y – y1   =   x-x1

Y2-y1        x2-x1

y-5        =   x-(-2)

-11-5         3-(-2)

y-5         =   x+2

-16              3+2

y-5         =  x+2

-16               5

5(y-5)   = -16(x+2)

5y-25    =-16x-32

5y        =-16x-32+25

                    2

5y        =-16x-7

Y          =-16x-7

                  5

Gambar 1

Gambar 2

Gambar 3

Jika teman-teman ingin mendengarkan Lagu dari group band Cengeng Band dengan judul Selamat Jalan,silahkan klik di SINI

No.1

No.2

No.3

               No.4

TRANSFORMASI LINEAR

Misal V dan W merupakan ruang vektor, maka fungsi T yang memetakan  setiap vektor di V (V disebut domain) ke vektor di W (W disebut kodomain), T: V ® W   disebuttransformasi linear bila berlaku dua syarat berikut:

1

2

      Kedua syarat  menunjukkan syarat penjumlahan dan  menunjukkan syarat perkalian dengan skalar.

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, 

Untuk mencari nilai λ yang sesuai, terlebih dahulu dihitung determinan dari (A-λ) dengan metode Sarrus atau ekspansi kofaktor

polinomial yang didapatkan di atas disebut polinomial karakteristik. Jika dicari dengan pemfaktoran atau dengan bantuan Matlab, diperoleh -λ³+4λ²+4λ-16 = (λ+2)(-λ+2)(λ-4)

sehingga didapatkan ketiga nilai eigen yaitu λ = 2, λ = -2 dan λ = 4

          Cara spesial untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3 ialah:

☺ 2x2 -> det(A) - λ.trace(A) + λ²

☺ 3x3 -> det(A) - λ.(M₁₁ + M₂₂ + M₃₃) + λ².trace(A) - λ³

Vektor Eigen

 Vektor eigen(x) merupakan solusi dari matriks (A-λ) untuk setiap nilai λ yang ada di mana x≠ 0. Misalkan pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai eigen, maka vektor eigennya juga ada tiga. Misalkan untuk λ = 2

 SPL di atas dapat diselesaikan dengan metode Gauss atau Gauss-Jordan. Metode Crammer tak dapat digunakan karena matriks di atas tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakana, b, dan c misalkan dalam c. Dengan metode Gauss, matriks segitiga atas yang diperoleh setelah melakukan operasi baris elementer (OBE) yaitu:

jika a, b, c kita nyatakan dalam c, diperoleh

-0,4b - 0,4c = 0

-10a + 21b - 9c = 0

dari kedua persamaan di atas diperoleh b = -c dan a = -3c. Jadi vektor eigen untuk λ = 2 

Lampiran:

1. script Matlab untuk mencari polinomial karakteristik dan nilai eigen

% Polinomial Karakteristik dan Nilai Eigen

clc;

clear all;

A=input('Mariks A = ');

clc;

disp('Matriks A =');

disp(A);

dA=det(A);

[ba,ka]=size(A);

syms L;

for j=1:ka

for i=1:ba

C=A-L*eye(ba);

end

end

disp(C);

disp('polinomial karakteristik matriks A=');

disp(det(C));

disp('nilai eigen matriks A=');

disp(eig(A));

TRANSFORMASI LINEAR

TRANSFORMASI LINEAR

Misal V dan W merupakan ruang vektor, maka fungsi T yang memetakan  setiap vektor di V (V disebut domain) ke vektor di W (W disebut kodomain), T: V ® W   disebuttransformasi linear bila berlaku dua syarat berikut:

1.

2.

Kedua syarat  menunjukkan syarat penjumlahan dan  menunjukkan syarat perkalian dengan skalar.

 Ruang Vektor Real

RUANG VEKTOR REAL

 Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan anggota lain dalam himpunan itu.

v Operasi perkalian skalar adalah suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada V dengan suatu objek ku, yang disebut kelipatan skalar dari u oleh k.
Jadi, jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua objek u, v, w pada V dan semua skalar k dan l, maka V dapat disebut sebagai ruang vektor dan objek-objek pada V sebagai vektor.

Aksioma-Aksioma Sebagai berikut:

(1)         Jika u dan v adalah objek-objek pada V, maka u + v berada pada V.
(2)    u + v = v + u

(3)    u + (v + w) = (u + v) + w
(4)    Terdapat suatu objek 0 di V, disebut vektor nol sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua V.
(5)   Untuk setiap u di V, terdapat suatu objek -u di V, disebut negatif u, sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
(6)   Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang objek di V, maka ku terdapat di V.
(7)   k(u + v) = ku + kv
(8)   (k + l)u = ku + lu
(9)   k(lu) = (kl)(u)
(10) lu = u

Skalar dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, tergantung pada aplikasinya.
v Ruang vektor kompleks adalah ruang vektor di mana skalar-skalarnya adalah bilangan kompleks

v Ruang vektor real adalah ruang vektor di mana skalar-skalarnya adalah bilangan real

Contoh 1 :

Rn adalah suatu ruang vektor.

v Himpunan V = Rn dengan operasi-operasi standar penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada bab ruang dimensi n Euclide,v Tiga kasus khusus paling penting dari Rn adalah

1)      R (bilangan real)

2)      R2 (vektor pada bidang)

3)      R3 (vektor pada ruang berdimensi

Contoh 2 : Ruang Vektor Matrik 2 x 2

Himpunan V dari semua matriks 2 x 2 dengan entri-entri real adalah suatu ruang vektor jika penjumlahan vektor didefinisikan sebagai penjumlahan matriks dan perkalian skalar vektor didefinisikan sebagai perkalian skalar matriks.

                                           Persamaan Garis Lurus

X  -  3Y   = -3
X  - 3(0) = -3
X  -  0     =-3
         X    = -3 + 0
         X    = -3

2X  +  Y   = 8
2(-3) + Y = 8
-6  +  Y    = 8
          Y    = 8 + 6
          Y    = 14

3X  +  2Y   = 5
3(-3)  + 2Y = 5
   -9   +  2Y = 5
             2Y  = 5 + 9
             2Y  = 14
               Y  = 14/2
               Y  = 7

Gambar.1

Gambar.2