NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, 

Untuk mencari nilai λ yang sesuai, terlebih dahulu dihitung determinan dari (A-λ) dengan metode Sarrus atau ekspansi kofaktor

polinomial yang didapatkan di atas disebut polinomial karakteristik. Jika dicari dengan pemfaktoran atau dengan bantuan Matlab, diperoleh -λ³+4λ²+4λ-16 = (λ+2)(-λ+2)(λ-4)

sehingga didapatkan ketiga nilai eigen yaitu λ = 2, λ = -2 dan λ = 4

          Cara spesial untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3 ialah:

☺ 2x2 -> det(A) - λ.trace(A) + λ²

☺ 3x3 -> det(A) - λ.(M₁₁ + M₂₂ + M₃₃) + λ².trace(A) - λ³

Vektor Eigen

 Vektor eigen(x) merupakan solusi dari matriks (A-λ) untuk setiap nilai λ yang ada di mana x≠ 0. Misalkan pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai eigen, maka vektor eigennya juga ada tiga. Misalkan untuk λ = 2

 SPL di atas dapat diselesaikan dengan metode Gauss atau Gauss-Jordan. Metode Crammer tak dapat digunakan karena matriks di atas tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakana, b, dan c misalkan dalam c. Dengan metode Gauss, matriks segitiga atas yang diperoleh setelah melakukan operasi baris elementer (OBE) yaitu:

jika a, b, c kita nyatakan dalam c, diperoleh

-0,4b - 0,4c = 0

-10a + 21b - 9c = 0

dari kedua persamaan di atas diperoleh b = -c dan a = -3c. Jadi vektor eigen untuk λ = 2 

Lampiran:

1. script Matlab untuk mencari polinomial karakteristik dan nilai eigen

% Polinomial Karakteristik dan Nilai Eigen

clc;

clear all;

A=input('Mariks A = ');

clc;

disp('Matriks A =');

disp(A);

dA=det(A);

[ba,ka]=size(A);

syms L;

for j=1:ka

for i=1:ba

C=A-L*eye(ba);

end

end

disp(C);

disp('polinomial karakteristik matriks A=');

disp(det(C));

disp('nilai eigen matriks A=');

disp(eig(A));