NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Nilai eigen merupakan
nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan
nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu
vektor,
Untuk mencari nilai Ī» yang
sesuai, terlebih dahulu dihitung determinan dari (A-Ī») dengan metode
Sarrus atau ekspansi kofaktor
polinomial yang
didapatkan di atas disebut polinomial karakteristik. Jika dicari dengan
pemfaktoran atau dengan bantuan Matlab, diperoleh -Ī»3+4Ī»2+4Ī»-16 = (Ī»+2)(-Ī»+2)(Ī»-4)
sehingga didapatkan
ketiga nilai eigen yaitu Ī» = 2, Ī» = -2 dan Ī» =
4
Cara spesial untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3
ialah:
☺ 2x2 -> det(A) - Ī».trace(A)
+ Ī»2
☺ 3x3 -> det(A) - Ī».(M11 +
M22 + M33) + Ī»2.trace(A) - Ī»3
Vektor Eigen
Vektor eigen(x)
merupakan solusi dari matriks (A-Ī») untuk setiap nilai Ī» yang
ada di mana x≠ 0. Misalkan pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai
eigen, maka vektor eigennya juga ada tiga. Misalkan untuk Ī» =
2
SPL di atas dapat
diselesaikan dengan metode Gauss atau Gauss-Jordan. Metode Crammer tak dapat
digunakan karena matriks di atas tidak memiliki solusi sejati (determinannya =
0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakana, b,
dan c misalkan dalam c. Dengan metode Gauss,
matriks segitiga atas yang diperoleh setelah melakukan operasi baris elementer
(OBE) yaitu:
jika a, b, c kita
nyatakan dalam c, diperoleh
-0,4b - 0,4c =
0
-10a + 21b -
9c = 0
dari kedua persamaan di
atas diperoleh b = -c dan a = -3c.
Jadi vektor eigen untuk Ī» = 2
Lampiran:
1. script Matlab untuk
mencari polinomial karakteristik dan nilai eigen
% Polinomial
Karakteristik dan Nilai Eigen
clc;
clear all;
A=input('Mariks A = ');
clc;
disp('Matriks A =');
disp(A);
dA=det(A);
[ba,ka]=size(A);
syms L;
for j=1:ka
for i=1:ba
C=A-L*eye(ba);
end
end
disp(C);
disp('polinomial
karakteristik matriks A=');
disp(det(C));
disp('nilai eigen
matriks A=');
disp(eig(A));